{"slug":"tabla-integrales-indefinidas","category":"Matemáticas","subcategory":"Cálculo","ui":{"inputs":[{"name":"formula","label":"Fórmula a evaluar","type":"select","required":true,"default_value":"power","options":[{"value":"power","label":"Potencia: ∫ xⁿ dx"},{"value":"exp","label":"Exponencial: ∫ e^(kx) dx"},{"value":"sin","label":"Seno: ∫ sin(kx) dx"},{"value":"cos","label":"Coseno: ∫ cos(kx) dx"},{"value":"rational_atan","label":"Racional: ∫ 1/(x² + a²) dx"},{"value":"rational_asin","label":"Irracional: ∫ 1/√(a² - x²) dx"}]},{"name":"param_n","label":"Exponente (n)","type":"number","required":true,"default_value":2,"show_if":{"formula":["power"]},"help":"Debe ser distinto de -1"},{"name":"param_k","label":"Coeficiente (k)","type":"number","required":true,"default_value":3,"show_if":{"formula":["exp","sin","cos"]},"help":"Debe ser distinto de 0"},{"name":"param_a","label":"Constante (a)","type":"number","required":true,"default_value":4,"show_if":{"formula":["rational_atan","rational_asin"]},"help":"Debe ser mayor que 0"}]},"logic_script":"var f = inputs.formula; var fmt = function (v) { return String(lib.round(v, 6)); }; var num = function (name, label) { var v = lib.num(inputs[name]); if (isNaN(v) || !isFinite(v)) return { err: { invalid: name, result: 'Introduce un número válido para ' + label + '.', footprint: 'Valor no válido.' } }; if (Math.abs(v) > 1e6) return { err: { invalid: name, result: label + ' debe estar entre -1.000.000 y 1.000.000.', footprint: 'Valor fuera de rango.' } }; return { v: v }; }; var coef = function (c, body) { var s = c < 0 ? '-' : '', ac = Math.abs(c); if (Math.abs(ac - 1) < 1e-9) return s + body; var inv = 1 / ac; if (Math.abs(inv - Math.round(inv)) < 1e-9) return s + '\\\\frac{1}{' + fmt(inv) + '} ' + body; return s + fmt(ac) + ' ' + body; }; var kx = function (k) { return k === 1 ? 'x' : k === -1 ? '-x' : fmt(k) + 'x'; }; var out = function (integrand, F, regla, steps, foot) { return { result: { 'Integral': '$$ \\\\int ' + integrand + ' \\\\, dx = ' + F + ' + C $$', 'Regla aplicada': regla, 'Comprobación': '$\\\\frac{d}{dx}\\\\left(' + F + '\\\\right) = ' + integrand + '$' }, footprint: foot, steps: steps }; }; if (f === 'power') { var p = num('param_n', 'n'); if (p.err) return p.err; var n = p.v; if (n === -1) return out('\\\\frac{1}{x}', '\\\\ln|x|', 'Caso n = −1: $\\\\int x^{-1} \\\\, dx = \\\\ln|x| + C$', ['La regla de la potencia no vale para n = −1 (dividiría entre 0).', 'Se usa la integral inmediata: $\\\\int \\\\frac{1}{x} \\\\, dx = \\\\ln|x| + C$', 'Resultado: $\\\\ln|x| + C$ (válido para x ≠ 0).'], 'Con n = −1 la integral de x^n es el logaritmo neperiano de |x|.'); var m = n + 1, fx = n === 0 ? '1' : n === 1 ? 'x' : 'x^{' + fmt(n) + '}'; var F = m === 1 ? 'x' : (m < 0 ? '-' : '') + '\\\\frac{x^{' + fmt(m) + '}}{' + fmt(Math.abs(m)) + '}'; return out(fx, F, 'Potencia: $\\\\int x^n \\\\, dx = \\\\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ −1)', ['Fórmula: $\\\\int x^n \\\\, dx = \\\\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$', 'Con n = ' + fmt(n) + ': n + 1 = ' + fmt(m), 'Resultado: $' + F + ' + C$'], 'Integral de x elevado a ' + fmt(n) + ' con la regla de la potencia (exponente ' + fmt(m) + ').'); } if (f === 'exp' || f === 'sin' || f === 'cos') { var q = num('param_k', 'k'); if (q.err) return q.err; var k = q.v; if (k === 0) return { invalid: 'param_k', result: 'k no puede ser 0: la función sería constante.', footprint: 'k = 0 no es válido.' }; var arg = kx(k); if (f === 'exp') { var e = 'e^{' + arg + '}', Fe = coef(1 / k, e); return out(e, Fe, 'Exponencial: $\\\\int e^{kx} \\\\, dx = \\\\frac{1}{k} e^{kx} + C$', ['Fórmula: $\\\\int e^{kx} \\\\, dx = \\\\frac{1}{k} e^{kx} + C$', 'Con k = ' + fmt(k) + ': 1/k = ' + fmt(1 / k), 'Resultado: $' + Fe + ' + C$'], 'Integral de la exponencial con k = ' + fmt(k) + '.'); } if (f === 'sin') { var s = '\\\\sin(' + arg + ')', Fs = coef(-1 / k, '\\\\cos(' + arg + ')'); return out(s, Fs, 'Seno: $\\\\int \\\\sin(kx) \\\\, dx = -\\\\frac{1}{k} \\\\cos(kx) + C$', ['Fórmula: $\\\\int \\\\sin(kx) \\\\, dx = -\\\\frac{1}{k} \\\\cos(kx) + C$', 'Con k = ' + fmt(k) + ': −1/k = ' + fmt(-1 / k), 'Resultado: $' + Fs + ' + C$'], 'Integral del seno con k = ' + fmt(k) + '.'); } var c = '\\\\cos(' + arg + ')', Fc = coef(1 / k, '\\\\sin(' + arg + ')'); return out(c, Fc, 'Coseno: $\\\\int \\\\cos(kx) \\\\, dx = \\\\frac{1}{k} \\\\sin(kx) + C$', ['Fórmula: $\\\\int \\\\cos(kx) \\\\, dx = \\\\frac{1}{k} \\\\sin(kx) + C$', 'Con k = ' + fmt(k) + ': 1/k = ' + fmt(1 / k), 'Resultado: $' + Fc + ' + C$'], 'Integral del coseno con k = ' + fmt(k) + '.'); } if (f === 'rational_atan' || f === 'rational_asin') { var r = num('param_a', 'a'); if (r.err) return r.err; if (r.v === 0) return { invalid: 'param_a', result: 'a no puede ser 0.', footprint: 'a = 0 no es válido.' }; var A = Math.abs(r.v), a2 = fmt(A * A), xa = A === 1 ? 'x' : '\\\\frac{x}{' + fmt(A) + '}'; if (f === 'rational_atan') { var ia = '\\\\frac{1}{x^{2} + ' + a2 + '}', Fa = coef(1 / A, '\\\\arctan\\\\left(' + xa + '\\\\right)'); return out(ia, Fa, 'Arcotangente: $\\\\int \\\\frac{1}{x^2 + a^2} \\\\, dx = \\\\frac{1}{a} \\\\arctan\\\\left(\\\\frac{x}{a}\\\\right) + C$', ['Fórmula: $\\\\int \\\\frac{1}{x^2 + a^2} \\\\, dx = \\\\frac{1}{a} \\\\arctan\\\\left(\\\\frac{x}{a}\\\\right) + C$', 'Con |a| = ' + fmt(A) + ': a² = ' + a2, 'Resultado: $' + Fa + ' + C$'], 'Integral racional que da una arcotangente con a² = ' + a2 + '.'); } var is = '\\\\frac{1}{\\\\sqrt{' + a2 + ' - x^{2}}}', Fs2 = '\\\\arcsin\\\\left(' + xa + '\\\\right)'; return out(is, Fs2, 'Arcoseno: $\\\\int \\\\frac{1}{\\\\sqrt{a^2 - x^2}} \\\\, dx = \\\\arcsin\\\\left(\\\\frac{x}{|a|}\\\\right) + C$', ['Fórmula: $\\\\int \\\\frac{1}{\\\\sqrt{a^2 - x^2}} \\\\, dx = \\\\arcsin\\\\left(\\\\frac{x}{|a|}\\\\right) + C$ (válida para |x| < |a|)', 'Con |a| = ' + fmt(A) + ': a² = ' + a2, 'Resultado: $' + Fs2 + ' + C$'], 'Integral que da un arcoseno, válida para |x| < ' + fmt(A) + '.'); } return { invalid: 'formula', result: 'Elige una de las fórmulas de la lista.', footprint: 'Fórmula no reconocida.' };","reference_table":{"caption":"Tabla de Integrales Indefinidas Fundamentales","headers":["Categoría","Función $f(x)$","Integral $\\int f(x) dx$"],"rows":[["Potencias","$x^n \\ (n \\neq -1)$","$\\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$"],["Potencias","$\\frac{1}{x}$","$\\ln|x| + C$"],["Exponenciales","$e^x$","$e^x + C$"],["Exponenciales","$a^x \\ (a > 0, a \\neq 1)$","$\\frac{a^x}{\\ln(a)} + C$"],["Logarítmicas","$\\ln(x)$","$x\\ln(x) - x + C$"],["Trigonométricas","$\\sin(x)$","$-\\cos(x) + C$"],["Trigonométricas","$\\cos(x)$","$\\sin(x) + C$"],["Trigonométricas","$\\tan(x)$","$-\\ln|\\cos(x)| + C$"],["Trigonométricas","$\\sec^2(x)$","$\\tan(x) + C$"],["Trigonométricas","$\\csc^2(x)$","$-\\cot(x) + C$"],["Trigonométricas","$\\sec(x)\\tan(x)$","$\\sec(x) + C$"],["Inversas","$\\frac{1}{x^2 + a^2}$","$\\frac{1}{a} \\arctan\\left(\\frac{x}{a}\\right) + C$"],["Inversas","$\\frac{1}{\\sqrt{a^2 - x^2}}$","$\\arcsin\\left(\\frac{x}{a}\\right) + C$"],["Inversas","$\\frac{1}{x\\sqrt{x^2 - a^2}}$","$\\frac{1}{a} \\text{arcsec}\\left(\\frac{|x|}{a}\\right) + C$"]]},"title":"Tabla de Integrales Indefinidas y Evaluador Paso a Paso","description":"Consulta las fórmulas fundamentales de integración y evalúa parámetros específicos al instante con desarrollo paso a paso.","seo_title":"Tabla de integrales indefinidas: fórmulas y calculadora","seo_description":"Tabla de integrales indefinidas completa. Evalúa fórmulas de potencia, exponenciales y trigonométricas paso a paso. Sin registro.","seo_footprint":{"text_intro":"La integración es una de las operaciones fundamentales del cálculo, utilizada para encontrar la antiderivada de una función. Una tabla de integrales indefinidas recopila las reglas básicas que permiten resolver problemas matemáticos sin tener que recurrir a la definición de límite en cada ocasión. Esta herramienta no solo te proporciona una tabla de referencia con las fórmulas más utilizadas (potencias, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), sino que también incluye un evaluador interactivo. Al seleccionar una estructura matemática y asignar valores a sus constantes, obtendrás el resultado exacto y el desarrollo algebraico correspondiente. Es ideal para estudiantes de ingeniería, física y matemáticas que necesitan verificar sus ejercicios de forma rápida y precisa.","faq":[{"question":"¿Por qué la integral de 1/x es el logaritmo natural?","answer":"Porque la derivada de la función logaritmo natural ln(x) es exactamente 1/x. La regla general de la potencia no se puede aplicar aquí, ya que al sumar 1 al exponente -1 obtendríamos 0 en el denominador, lo cual es una indeterminación matemática. Se utiliza el valor absoluto ln|x| para extender el dominio a los números negativos."},{"question":"¿Cómo se integra una función exponencial?","answer":"La integral de la función exponencial natural e^x es ella misma, e^x + C. Si la variable x está multiplicada por una constante k, como en e^(kx), la integral es (1/k)e^(kx) + C. Por ejemplo, si el coeficiente es 3, la integral de e^(3x) es (1/3)e^(3x) + C."},{"question":"¿Cuál es la integral del seno y del coseno?","answer":"La integral de sin(x) es -cos(x) + C, y la integral de cos(x) es sin(x) + C. Es importante prestar atención a los signos, ya que son opuestos a los que se obtienen al derivar estas mismas funciones. Si hay un coeficiente k multiplicando a la x, se debe dividir el resultado por ese coeficiente."},{"question":"¿Qué fórmula se usa para integrales que dan como resultado arcotangente?","answer":"La estructura típica que resulta en una función arcotangente es la integral de 1/(x² + a²). La solución general para esta forma es (1/a)arctan(x/a) + C. Por ejemplo, si la constante a es 4 (lo que significa que el denominador es x² + 16), el resultado es (1/4)arctan(x/4) + C."},{"question":"¿Cómo puedo comprobar si mi integral indefinida es correcta?","answer":"El método más directo y seguro para verificar el resultado de una integral indefinida es derivar la función obtenida. Según el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de tu respuesta (incluyendo la constante C, cuya derivada es cero) debe ser exactamente igual a la función original que integraste."}],"how_to_use_steps":["Selecciona el tipo de función en el campo 'Fórmula a evaluar' (por ejemplo, Potencia, Exponencial o Seno).","Introduce el valor numérico correspondiente en el campo que aparezca, como el 'Exponente (n)', el 'Coeficiente (k)' o la 'Constante (a)'.","Observa el resultado matemático formateado y el desglose de la sustitución en la sección de pasos.","Consulta la tabla inferior para revisar otras reglas de integración relacionadas."]},"content_sections":[{"heading":"¿Qué es una integral indefinida?","paragraphs":["Una integral indefinida representa el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. Se denota mediante el símbolo de integración seguido de la función y el diferencial, por ejemplo, ∫ f(x) dx. A diferencia de la integral definida, que calcula el área exacta bajo una curva entre dos puntos y devuelve un valor numérico, la integral indefinida produce una nueva función F(x).","La característica principal de este resultado es que, al derivarlo, se obtiene la función original f(x). Por ello, la integración y la derivación se consideran operaciones inversas, un principio fundamental establecido por el Teorema Fundamental del Cálculo."]},{"heading":"La importancia de la constante de integración (+ C)","paragraphs":["Al resolver cualquier integral indefinida, es obligatorio añadir una constante arbitraria, comúnmente denotada con la letra C. Esto se debe a que la derivada de cualquier número constante es cero. Por ejemplo, las funciones x², x² + 5 y x² - 10 tienen exactamente la misma derivada: 2x.","Por lo tanto, al integrar 2x, no podemos saber cuál era la constante original. La expresión x² + C engloba a toda esa familia de funciones, indicando que existen infinitas curvas paralelas que satisfacen la condición de tener la misma pendiente en cada punto x."]},{"heading":"Fórmulas fundamentales y métodos de integración","paragraphs":["El dominio del cálculo integral comienza con la memorización y comprensión de las reglas básicas. La regla de la potencia, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, es aplicable para cualquier número real n distinto de -1. Cuando n = -1, la integral de 1/x resulta en el logaritmo natural ln|x| + C. Para funciones trigonométricas, las reglas directas como la integral del seno o el coseno son esenciales.","Además, existen formas racionales e irracionales que conducen a funciones trigonométricas inversas, como ∫ 1/(x² + a²) dx, que resulta en (1/a)arctan(x/a) + C. Cuando las funciones son más complejas, se recurre a técnicas avanzadas como la integración por partes, la sustitución trigonométrica o la descomposición en fracciones parciales."]},{"heading":"Ejemplo resuelto: Regla de la potencia","paragraphs":["Supongamos que necesitamos integrar la función f(x) = x². Utilizando nuestra herramienta, seleccionamos 'Potencia: ∫ xⁿ dx' en el campo 'Fórmula a evaluar' e introducimos el valor 2 en el campo 'Exponente (n)'. La fórmula general nos indica que ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C.","Sustituyendo n = 2 en la ecuación, obtenemos: ∫ x² dx = x²⁺¹/(2+1) + C. Al simplificar la fracción, el resultado final es x³/3 + C. Este mismo procedimiento se aplica para exponentes negativos o fraccionarios, siempre y cuando el exponente sea diferente de -1.","Si introducimos n = -1 en la herramienta, esta nos indicará correctamente que la integral es ln|x| + C, aplicando la regla específica para ese caso excepcional."]},{"heading":"Errores comunes al integrar","paragraphs":["Uno de los errores más frecuentes entre los estudiantes es olvidar añadir la constante de integración + C al final del resultado, lo cual hace que la respuesta esté matemáticamente incompleta. Otro fallo habitual ocurre al aplicar la regla de la potencia cuando el exponente es -1; muchos intentan sumar 1 al exponente, lo que resultaría en una división por cero, en lugar de reconocer que se trata de la función logaritmo natural.","Además, al integrar funciones compuestas como e^(3x) o sin(2x), es común olvidar dividir por el coeficiente de la variable x. Como muestra la herramienta, si evaluamos la exponencial con un 'Coeficiente (k)' igual a 3, el resultado correcto incluye el factor 1/3, quedando (1/3)e^(3x) + C."]}],"sources":[{"label":"Stewart, J. (2015). Cálculo: Trascendentes Tempranas (8va ed.). Cengage Learning."},{"label":"Larson, R., & Edwards, B. H. (2017). Cálculo (11va ed.). Cengage Learning."},{"label":"Thomas, G. B. (2014). Cálculo: Una variable (13ra ed.). Pearson Educación."}],"default_output":{"result":{"Integral":"$$ \\int x^{2} \\, dx = \\frac{x^{3}}{3} + C $$","Regla aplicada":"Potencia: $\\int x^n \\, dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ −1)","Comprobación":"$\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{x^{3}}{3}\\right) = x^{2}$"},"footprint":"Integral de x elevado a 2 con la regla de la potencia (exponente 3).","steps":["Fórmula: $\\int x^n \\, dx = \\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$","Con n = 2: n + 1 = 3","Resultado: $\\frac{x^{3}}{3} + C$"]},"status":"published","reviewed_at":"2026-09-25"}